ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

 Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ. με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά με την εισαγωγή του παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών. Τα σύμβολα των αριθμών, δηλαδή τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9, που χρησιμοποιούμε σήμερα σ' όλο τον κόσμο, προέρχονται από την Ινδία. Ονομάστηκαν αραβικοί αριθμοί επειδή έγιναν γνωστοί στην Ευρώπη μέσω των Αράβων.

Αρχαίοι 'Ελληνες Μαθηματικοί

Εικόνα 1.1 (Ευκλείδης)

• Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (περ. 325 π.Χ. 270 π.Χ.) ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της περιόδου βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄. Σήμερα, είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης κατέχει μια κρίσιμη θέση στην ιστορία των Μαθηματικών, καθώς είναι ο πρώτος που παράγει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων  με βάση ένα σύνολο ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις. Κατ' αυτό τον τρόπο περιέλαβε στο σύστημα αυτό και προτάσεις ήδη διατυπωμένες παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Λεωδάμαντας και ο Εύδοξος. Ο Ευκλείδης έγραψε ακόμα συγγράμματα για τα «Οπτικά», «Κατοπτρικά», «Στοιχεία τής Μουσικής», «Κωνική τομή», «σφαιρική γεωμετρία», «Θεωρία αριθμών»

• 

  Εικόνα 1.2 (Θαλής)

  Ο Θαλής ο Μιλήσιος, (640 ή 624 π.Χ. - 546 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και ο αρχαιότερος των προσωκρατικών,ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και ιδρυτής της Ιωνικής Σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στη Μίλητο. Ο Θαλής προσπάθησε να κατανοήσει τον κόσμο μέσα από τα μάτια της επιστήμης και να εξηγήσει φυσικά φαινόμενα όπως λ.χ την Έκλειψη Ηλίου, χωρίς να χρησιμοποιεί αναφορές στην μυθολογία. Υπήρξε μεγάλος διδάσκαλος με παρά πολύ μεγάλη επιρροή σε όλους σχεδόν τους μεταγενέστερους προσωκρατικούς φιλοσόφους. Αυτοί ακολούθησαν τα χνάρια του για να δημιουργήσουν αδιαμφισβήτητες αληθείς πεποιθήσεις για τα φυσικά φαινόμενα, τα ουράνια σώματα, και άλλα χρησιμοποιώντας ως εργαλεία τους την Λογική,τα μαθηματικά, την φυσική, τη βιολογία, την αστρολογία και όχι τους μύθους και τους θρύλους.

Εικόνα 1.3 (Πυθαγόρας) 

• Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ.-496 π.Χ.) ήταν σημαντικός Έλληνας, φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός. Επίσης, επηρέασε σημαντικά τη φιλοσοφία και τη θρησκευτική διδασκαλία στα τέλη του 6ου αιώνα π.Χ., συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του.Μια ακόμη πολύ σημαντική ανακάλυψη που έκανε ο Πυθαγόρας είναι η αριθμητική ερμηνεία του σύμπαντος. Μετρώντας τα κατάλληλα μήκη της χορδής ενός μονόχορδου, διαπίστωσε πως τα σύμφωνα μουσικά διαστήματα μπορεί να εκφρασθούν σε απλές αριθμητικές αναλογίες των τεσσάρων πρώτων ακεραίων αριθμών.

Άλγεβρα & Γεωμετρία

Δύο από τους πιο αξιοσημείωτους κλάδους της μαθηματικής επιστήμης φαίνονται να είναι η Άλγεβρα και η Γεωμετρία τα οποία τείνουν να είναι κομμάτι της καθημερινότητάς μας, καθώς οι μαθητές σε ολόκληρο τον πλανήτη ανεξάρτητα της καταγωγής, της ηλικίας ή της θρησκείας τους έχουν κοινές μαθηματικές εφαρμογές και τρόπους επίλυσης αυτών.

• Η άλγεβρα είναι ένα από τα μεγάλα τμήματα των μαθηματικών, μαζί με την θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και την ανάλυση.Διασυνδέει σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών.Ως εκ τούτου, περιλαμβάνει τα πάντα, από την επίλυση της στοιχειώδους εξίσωσης μέχρι και τη μελέτη των αφηρημένων εννοιών όπως ομάδες, δακτυλίους, και πεδία.Τα πιο βασικά μέρη της άλγεβρας ονομάζονται στοιχειώδης άλγεβρα, τα πιο αφηρημένα μέρη καλούνται αφηρημένη άλγεβρα ή σύγχρονη άλγεβρα.Η στοιχειώδης άλγεβρα θεωρείται γενικά ότι είναι απαραίτητη για τη μελέτη των μαθηματικών, της φυσικής, ή της μηχανικής, καθώς και εφαρμογών όπως η ιατρική και η οικονομία. Η αφηρημένη άλγεβρα είναι μια μεγάλη περιοχή στα προχωρημένα μαθηματικά, έχει μελετηθεί κυρίως από επαγγελματίες μαθηματικούς. Πολύ πρώιμο έργο στην άλγεβρα, όπως η αραβική προέλευση της που υποδηλώνει το όνομά της, έγινε στην Μέση Ανατολή.Η στοιχειώδης άλγεβρα διαφέρει από την αριθμητική στην χρήση αφηρημένων εννοιών, όπως η χρήση γραμμάτων που αντιπροσωπεύουν αριθμούς που είναι είτε άγνωστοι ή επιτρέπεται να πάρουν πολλές τιμές. Για παράδειγμα,στην  ${\displaystyle x+2=5}$ το γράμμα ${\displaystyle x}$ είναι άγνωστο, αλλά ο νόμος των αντίστροφων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ανακαλύψουμε την τιμή του: ${\displaystyle x=3}$. Στην E = mc², τα γράμματα ${\displaystyle E}$ και ${\displaystyle m}$ είναι μεταβλητές, και το γράμμα ${\displaystyle c}$ είναι μια σταθερά, η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η άλγεβρα δίνει μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων και εκφράζει τύπους που είναι πολύ πιο εύχρηστοι από την παλαιότερη μέθοδο γραφής των πάντων με λέξεις.

• Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα.Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι.Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαμέτρου του.Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο, ο οποίος είναι και ο πρώτος που εισάγει την έννοια της "απόδειξης" ως μέσον επαλήθευσης μιας γεωμετρικής πρότασης. Ο Πυθαγόρας έθεσε την γεωμετρία σε πλήρως θεωρητικό και φιλοσοφικό επίπεδο, αλλά ολοκλήρωσε και την έννοια αλλά και την πρακτική της αποδεικτικής διαδικασίας.

Κάποια απο τα πιο σημαντίκα θεωρήματα είναι τα εξής:

• Το περίφημο Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας(η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.
• Ισώτητα Τριγώνων: Τα τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες ή αν έχουν δύο πλευρές και την γωνία ανάμεσα τους ίσες ή αν έχουν δύο γωνίες και την προσκείμενη σε αυτές πλευρά ίση μεταξύ τους.Τρίγωνα με τρεις ίσες γωνίες είναι όμοια, αλλά όχι αναγκαστικά ίσα.Επίσης τα τρίγωνα με δύο ίσες πλευρές και μία οποιαδήποτε γωνία δεν είναι απαραίτητα όμοια και ίσα.
• Άθροισμα γωνίας τριγώνου:Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μία ευθεία γωνία(180 μοίρες).Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο να έχει τρεις εσωτερικές γωνίες από 60 μοίρες η κάθε γωνία.Επίσης αυτό σημαίνει ότι κάθε τρίγωνο έχει το λιγότερο δύο οξείες γωνίες και μέχρι μία αμβλεία γωνία ή ορθή γωνία.

Κάποια βοηθητικά βίντεο και κάποιες ασκήσεις

• http://www.askisopolis.gr/index.php?p=gymnasio.php&vv=2&v=4&tx=5&m=9&en=-1
• http://users.sch.gr/fergadioti1/trapeza_algebra_a/thema2_4.html

Μπορείτε να επικοινωνήσετε με εμάς μέσω e-mail:

elenarontouu@gmail.com

marianannapanaretou@gmail.com

ktsinganos@gmail.com